Завдання  Всеукраїнської учнівської олімпіади з фізики
Теоретичний тур. 10 клас

1. 1. На скільки зміниться вантажопідйомність показаного на рис. 1 понтону, якщо відкрити вентиль на його дні? (S – площа горизонтальних поверхонь понтона.)

     Вантажопідйомність визначається при умові повного занурення (глибина занурення відповідає висоті понтону). Відповідно при закритому вентилі mx = SHρ, або, якщо врахувати масу самого понтона,
mx = SHρ – mпонтона.
     Якщо відкрити вентиль, вода частково заповнить внутрішній об’єм.  Умова рівноваги

P – Pa = ρgh, де Pa – атмосферний тиск, h – висота заповненої  повітрям частини потону в умовах рівноваги (глибина занурення знов таки H).

Знайдемо h. Додатковим рівнянням для цього є

PSh = PaSH,    або  ; .

Отримаємо квадратичне рівняння відносно h:
Ρgh2 + Pah – PaH = 0.

Звідси .

Тобто вантажопідйомність зменшиться на

.

1. 2. Маленьку шайбу запустили шорохуватою горизонтальною поверхнею зі швидкістю υ0 = 5 м/с. Графік залежності швидкості шайби υ від шляху S, що вона пройшла, зображений на рис. 2. Який шлях пройде шайба до повної зупинки, якщо її запустити з тієї ж самої точки в тому ж напрямку зі швидкістю υ1 = 4 м/с?

Нехай шайбу масою m запустили з початковою швидкістю υ0. Тоді швидкість шайби υ на відстані S від точки початку руху можна визначити із закону зміни механічної енергії:
    (1)
Де A(S) – робота, яку виконує сила тертя на шляху S. При достатньо малому переміщенні ?S справедлива формула ?A(S) = - μ(S)mg?S, де μ(S) – коефіцієнт тертя на відстані S від точки початку руху. Видно, що величина не залежить від швидкості υ0, а, отже, і сумарна робота A(S) на всьому шляху S не залежить від υ0, доки υ(S)  0. Тому при начальній швидкості шайби υ1 вона зупиниться, пройшовши шлях S, який можна визначити із співвідношення:
.    (2)
Підставляючи A(S) із співвідношення (1) в (2), маємо
,
Звідки знаходимо величину швидкості υ на графіку, що відповідає точці зупинки шайби у другому випадку:
 м/с.
        З графіка знаходимо, що швидкості υ = 3 м/с відповідає шлях S = 5 м.

Таким чином, при початковій швидкості υ1 = 4 м/с шайба пройде до повної зупинки шлях 5 м.

3. Плоский повітряний конденсатор, відстань між пластинами якого дорівнює d, частково занурений у рідину з діелектричною проникністю ε і густиною ρ (рис. 3). Через вимикач К на конденсатор подається постійна напруга U0. На яку висоту підніметься рідина, втягуючись у конденсатор.

mg = Fел(1)

Для визначення Fел припустимо, що під дією Fел і якоїсь зовнішньої сили F діелектрик знаходиться в рівновазі і довжина втягнутої частини при цьому x. Припустимо, що діелектрик втягнувся  в конденсатор ще нa Δx. Зовнішня сила при цьому виконала роботу A = -FΔx, а сила, що втягує – A = FелΔx. Ці роботи рівні за модулем. Із закону збереження енергії, сума робіт джерела та зовнішньої сили:

ΔW = Aдж - FелΔх;

ΔW =;

де l – поперечний розмір пластин конденсатора.
Aдж = 2ΔW.  Оскільки Aдж = U0Δq,  .

Тоді       .

Тобто,  Fел не змінюється, якщо U0 = const.

З рівняння (1) визначимо h:
;

.

1. 4. Три однакових контейнери з однаковою кількістю льоду при температурі 00 С  розміщено окремо один від одного на вулиці морозного дня. В кожному контейнері розміщено однаковий електричний нагрівач. В першому контейнері до нагрівача прикладено напругу U1 = 380 В, в другому контейнері до нагрівача прикладено напругу U2 = 220 В, в третьому контейнері до нагрівача прикладено напругу U3 =110 В. В першому контейнері увесь лід розтанув за час t1 = 4 хв. В другому контейнері увесь лід розтанув за час t2 = 20хв. За який час в третьому контейнері розтане весь лід? Вважати, що опір нагрівача не залежить від температури і в кожний момент часу по всьому контейнеру температура однакова.

;               (1)
де R – опір нагрівача, а Q1 повинен дорівнювати Q2, тобто відношення  повинно дорівнювати одиниці, а насправді воно дорівнює

Отже, контейнери не ідеальні термостати і із зовнішнім середовищем проходить теплообмін. Відома закономірність (визначена ще Ньютоном), що потужність теплообміну прямо пропорційна різниці температур ΔТ між контейнером та зовнішнім середовищем:
 (2).
З урахуванням цього і того, що всі контейнери однакові, рівність для тепла, яке йде на розплавлення льоду можна записати у вигляді:
  (3).

Uкрит=

.
З отриманої величини зрозуміло, що при напругах нижче 156 В теплота з контейнеру буде швидше уходити, аніж надходити з нагрівача і температура льоду буде знижуватися (оскільки назовні температура нижча 0°С). Тому відповідь - в третьому контейнері лід взагалі не буде розтавати. Спробуємо визначити температуру в контейнері Tк, якщо негативна температура навколишнього середовища дорівнює T0.
          При зменшенні температури в контейнері  Pобм конт  вже не буде сталою величиною, а зменшуватиметься при прямуванні температури від 0°С до T0, і в якийсь момент при Tк настане баланс між тепловиділенням з нагрівача і втратами тепла з контейнера. Запишемо рівняння балансу для Pобм    при температурі 0°С і Pобм конт  при T0.
Pобм = k(00 C – T0)R = - Uкрит2;
Pобм конт = k(Tк –T0)R = -U32.
         Розділемо одне рівняння на інше і отримуємо:

5. Нехтуючи в’язкістю води, визначити, на яку максимальну глибину можна занурити у воду закриту пластикову пляшку масою m=50 г, що має форму циліндра з довжиною L=25 см і діаметром D=8 cм, щоб під час спливання  вона не вискочила з води.

          Сила тяжіння під час спливання постійна F=mg;  сила, що виштовхує F=rgV, де  V– об’єм зануреної у воду частини пляшки, повний об’єм якої . Робота виштовхувальної сили (вважаємо H>L, де H– глибина занурення, тобто відстань від поверхні води до нижньої точки пляшки) є постійною при глибині H³Lі зменшується рівномірно пропорційно Hпри  0<H<L; прирівнюючи цю роботу до зміни потенційної енергії пляшки:

,  можна отримати .

При підстановці чисельних даних: H=13 cм.