Завдання  Всеукраїнської учнівської олімпіади з фізики
Теоретичний тур. 8 клас

1. 1. Два автомобілі одночасно виїжджають з двох міст (А і Б) та рухаються назустріч один одному однією дорогою, що з’єднує ці два міста. Перший автомобіль, що виїхав з А, на першій половині шляху з А до Б має швидкість 40 км/год, на другій – 80 км/год. Другий автомобіль першу половину часу свого руху з Б до А рухається зі швидкістю 40 км/год, а другу половину часу – зі швидкістю 60 км/год. Відстань між містами 96 км. Знайти, на якій відстані від міста А відбулась зустріч автомобілів.

Другий автомобіль буде рухатись з меншою швидкістю меншу частину шляху, оскільки час руху t  на цих частинах повинен бути рівним. Оскільки
96 км = 40 км/год · t +60 км/год ·t,
то t = 0,96 год, і за цей час другий автомобіль пройде 40 · 0,96 = 38,4 (км), як і перший, який спочатку рухається з тією ж самою швидкістю. На цей момент часу відстань між автомобілями буде рівною  96 – 2 · 38,4 = 19,2 (км). В подальшому другий автомобіль буде рухатись зі швидкістю 60 км/год, а перший до досягнення середини шляху, тобто 48 км, - з такою ж швидкістю  40 км/год. Зустріч автомобілів відбудеться через час

t1 =   (год) на відстані  38,4 + 40·0,192 = 46,08 (км) від міста А.

1. 2. Дві жаби, велика і маленька, стрибають дорогою. Спочатку вони знаходяться поруч і перший стрибок виконують одночасно. Маленька жабка робить один стрибок на 5 см кожну секунду, а велика робить один стрибок на 20 см кожні 3 с, але після кожного третього стрибка відпочиває 6 с. Як наслідок, маленька жабка то випереджає велику, то відстає від неї. Через який мінімальний час після початку руху маленька жабка випередить велику так, що велика жаба її більше не наздожене? Вважати, жаба і жабка роблять стрибки майже миттєво.

Побудуємо графіки руху обох жаб (рис. 1).. На осі х відкладаємо час t(с), на осі у – відстань S (см),  від точки початку руху для маленької жабки s та для великої жаби S.

З рис. 1 видно, що останній перетин графіків відбувається при t = 24 с, коли велика жаба відпочиває вдруге. Також в момент t = 36 с обидві жаби стрибають одночасно, і більша жаба приземлюється в точку, з якої тільки-но стрибнула маленька жабка. Оскільки стрибок відбувається не миттєво, а «майже миттєво», то в цьому місці велика жаба все-ж-таки не наздоганяє маленьку жабку.

1. 3. Густина сухого піску дорівнює 2,25·103 кг/м3, а густина дуже вологого піску, що насичений водою, дорівнює 2,70·103 кг/м3. Знайти середню густину частинок піску.

Сухий пісок складається з пісчинок густиною ρ і повітря, густиною якого можна знехтувати.
Насичений водою пісок складається з тих самих пісчинок та води густиною ρв, яка заповнює весь той об’єм, що раніше був заповнений повітрям. Позначимо через Vп об’єм, що займають пісчинки, а через Vв – об’єм, що займає повітря в сухому піску або вода у вологому. Тоді густина Pвол  вологого піску і густина Pcух піску відповідно дорівнюють:

;       .

З цих рівнянь можна знайти співвідношення
            .

Отримаємо
              кг/м3.

1. 4. У дві посудини налито рівні об’єми двох різних рідин. Якщо брусок з пластмаси, що має форму прямокутного паралелепіпеда, вміщують у першу посудину, то він плаває в ній, причому бік бруска, який має довжину а, перпендикулярний поверхні рідини, а висота його частини, що виступає над рідиною, дорівнює h1. Якщо цей брусок вміщують у другу посудину, то висота його частини, що виступає, стає рівною h2. Якою буде висота частини бруска, що виступає над рідиною, якщо обидві рідини злити в одну посудину та перемішати. Вважати, що рідини змішуються без зміни сумарного об’єму.
2. 

Брусок взаємодіє із Землею і рідиною, тому на нього діють дві сили: сила тяжіння mg і сила Архімеда FA. Під дією цих двох сил брусок знаходиться у рівновазі, оскільки, за умовою задачі, він плаває.

Виберемо систему відліку, пов’язану із Землею, і будемо вважати її інерціальною. Запишемо умови рівноваги бруска для кожного з трьох випадків:

1) mg – FA1 = 0;      2) mg – FA2 = 0;      3) mg – FA = 0.  
За законом Архімеда матимемо:
FA1 = ρ1V1g;         FA2 = ρ2V2g;        FA= ρVg,

де ρ1, ρ2 і ρ – відповідно густини першої, другої рідин та їх суміші;
V1, V2 і V – об’єми рідин, що витіснені бруском:

V1 = S (a – h1);     V2 = S (a – h2);      V3 = S (a – h),
де  S – площа основи бруска. Тоді умови рівноваги матимуть вигляд:

1. mg – ρ1S (a – h1)g = 0;
2. mg = ρ2S (a – h2)g = 0;
3. mg = ρS (a – h)g = 0.

Звідси:
ρ1 (a – h1) = ρ2 (a – h2);    ρ1 (a – h1) = ρ (a – h).

Отже:
.
Густина суміші ρ за рівних об’ємів рідин, що змішуються, очевидно, є . Тому:

Тоді:

1. 5. На поверхні плоского дзеркала лежить тонка симетрична двоопукла лінза з фокусною відстанню F0 = 8 см (рис. 3).

А) Де буде знаходитись зображення точкового джерела, що розташовано на відстані l1 = F0 від лінзи?
Б) На поверхню дзеркала наливають воду таким чином, що рівень води співпадає з площиною симетрії лінзи. Якщо тепер точкове джерело помістити на відстані l2 = 12 см від лінзи, то його зображення співпаде із самим джерелом. На якій відстані від лінзи треба розташувати точкове джерело, щоб його зображення співпало з ним самим, якщо долити води так, щоб вона повністю накрила лінзу?

1. У першому випадку промінь світла проходить крізь лінзу двічі. Тому система еквівалентна одній лінзі з оптичною силою D1 =2D0 .Джерело знаходилося на відстані F0=2F1, тобто на подвійній фокусній відстані. Тому зображення співпадає з самим джерелом: l 1 = F0 = 8 см.

2. Коли лінза занурена у воду наполовину, то оптична сила  системи D2 = 2D0 + 2D,деD – оптична силаводяного шару під лінзою,
тобто . З умови задачі l2  = 2F2 . Тому,

   3. Аналогічно, у третьому випадку  Тому,

Звідси знаходимо